Teoremi e Congetture

Premesso che nessun software di geometria interattiva permette di dimostrare rigorosamente un teorema - anzi ci è noto un esempio emblematico in cui i software di geometria interattiva Kig e Cabri rispondono al test di parallelismo considerando parallele rette che in realtà  non lo sono - possiamo usare Dr. Geo per falsificare delle congetture o per verificare la plausibilità, e sottolineiamo questo termine, di un enunciato.

Iniziamo da quest'ultimo aspetto, verificando con Dr. Geo la plausibilità  di quanto affermato dalla seguente:

Proposizione. La somma degli angoli interni di un triangolo vale sempre 180°.

Costruiamo con Dr. Geo un triangolo ABC e misuriamo con il goniometro i suoi angoli interni. A questo punto scriviamo il seguente script Guile che ha in ingresso le misure di ciascun angolo interno: 

(define a (getAngle a1))
(define b (getAngle a2))
(define c (getAngle a3))
(+ a (+ b c))

Lo script restituisce il valore della somma degli angoli interni. Se ora si modifica dinamicamente la figura è facile notare che i valori degli angoli cambiano mentre l'output dello script restituisce sempre il valore 180°.


Figura 1. Analizziamo un teorema con Dr. Geo

Passiamo ora ad un esempio semplice di falsificazione di una congettura che nasce da un modo errato di generalizzare il teorema di Pitagora:

Esercizio. Falsificare la seguente congettura: in un triangolo la somma della lunghezza dei quadrati dei due lati di lunghezza minore è uguale al quadrato della lunghezza del terzo lato.

Dopo aver riprodotto la figura con Dr. Geo possiamo scrivere uno script che calcola la somma dei quadrati dei lati di lunghezza minore: 

(define AB (getLength a1))
(define BC (getLength a2))
(+ ( * AB AB )( * BC BC ))

e uno script che calcola il quadrato del terzo lato:

(define AC (getLength a1))

(* AC AC)

come si vede dalla figura i risultati dei due script sono diversi.


Figura 2. Falsifichiamo una congettura

Deformando dinamicamente la figura si noterà che, nel caso di un triangolo rettangolo retto in B, gli script porgono risultati uguali.


Figura 3. Il teorema di Pitagora

Altri esempi di utilizzo degli script da questo punto di vista si trovano in [1] nella sezione Applicazioni Didattiche.

© 2004 Andrea Centomo